$\ \\\ \\1.求所有正整数对(a,b),使得a^3+6ab+1与b^3+6ab+1都是完全立方数.$ （来源@）
$\ \\3.证明:7\mid3^n+n^3的充要条件是7\mid3^nn^3+1\;(n\in\Z^+).$（来源@）
$\LARGE题解$
$\ \\\ \\1.因对称而设a\le b.\\ 设b^3+6ab+1=y^3,则有b^3<y^3\le b^3+6b^2+1<(b+2)^3,故y^3=b^3+6ab+1=(b+1)^3.\\ 由b^3+6ab+1=(b+1)^3=b^3+3b^2+3b+1,解得b=2a−1.\\ 代入另外一个式子得a^3+6ab+1=a^3+12a^2−6a+1.\\ 设a^3+12a^2−6a+1=x^3,则a^3<x^3<(a+4)^3,故x^3=a^3+12a^2−6a+1=(a+1)^3或(a+2)^3或(a+3)^3.\\ 分别求解得知a只能为1,所以所有满足条件的数对(a,b)=(1,1).$
证法一$\quad将原式变形为(9^{n+1}-1)-8(n+1).代入公式a^m-1=(a-1)(1+a+a^2+\cdots+a^{m-1})得$
$$\begin{align*} (9^{n+1}-1)-8(n+1)&=(9-1)(1+9+9^2+\cdots+9^n)-8(n+1)\\ &=8[1+9+9^2+\cdots+9^n-(n+1)]. \end{align*}$$$$\begin{align*} (1+9+9^2+\cdots+9^n)\bmod8&=[1\bmod8+9\bmod8+(9\bmod8)^2+\cdots+(9\bmod8)^n]\bmod8\\ &=1\times(n+1)\bmod8\\ &=(n+1)\bmod8, \end{align*}$$
$所以[1+9+9^2+\cdots+9^n-(n+1)]\bmod8=(n+1)\bmod8-(n+1)\bmod8=0,即$
$$8\times8=64\mid8[1+9+9^2+\cdots+9^n-(n+1)].\quad\square$$
证法二
$$\begin{align*} &3^{2(n+1)+2}-8(n+1)-9\\ =\;&3^{(2n+2)+2}-8n-8-9\\ =\;&3^{2n+2}\times9-8n-17\\ =\;&(3^{2n+2}-8n-9)\times9+72n+81-8n-17\\ =\;&(3^{2n+2}-8n-9)\times9+64(n+1), \end{align*}$$$当3^{2n+2}-8n-9能被64整除时,3^{2(n+1)+2}-8(n+1)-9=(3^{2n+2}-8n-9)\times9+64(n+1)能被64整除,使用归纳法得$
$\ \\3.如果7\mid3^n+n^3成立,设7\mid n,则7\mid n^3,7\nmid3^n,故7\nmid3^n+n^3,矛盾,所以7\nmid n.\\ 根据费马小定理,有n^{7-1}\equiv1\pmod7,即n^6\equiv1\pmod7.\\ 将原式变形为7\mid(3^n+n^3)n^3,即7\mid3^nn^3+n^6,因为n^6\bmod7=1,所以7\mid3^nn^3+1.\\ 如果7\mid3^nn^3+1成立,设7\mid n,则7\mid3^nn^3,故7\nmid3^nn^3+1,矛盾,所以7\nmid n.\\ 根据费马小定理,有n^6\equiv1\pmod7.\\ 将原式变形为7\mid(3^nn^3+1)n^3,即7\mid3^nn^6+n^3,因为n^6\bmod7=1,所以7\mid3^n+n^3.\quad\square$
