定理

对于实数$x>0$，定义序列$\{a_n\}$为$a_1=x,\;a_{n+1}=x^{a_n}$（即无穷幂塔$x^{x^{x^\cdots}}$）。则该序列收敛当且仅当${\rm e^{-e}}\le x\le\rm e^{1/e}$。此时极限$L$满足$L=x^L$，且

• 当$x=\rm e^{1/e}$时$L=\rm e$；
• 当$x=\rm e^{-e}$时$L=\rm e^{-1}$；
• 当${\rm e^{-e}}<x<\rm e^{1/e}$时$L$是唯一满足$L=x^L$的数，且$L\in\rm(e^{-1},e)$。

证明

1. 不动点与辅助函数

设$f(t)=x^t$，则$a_{n+1}=f(a_n)$。不动点满足$t=x^t$。取对数（$t>0$）得

$$\ln t=t\ln x\quad\Longleftrightarrow\quad\ln x=\frac{\ln t}t.$$

定义$g(t)=\dfrac{\ln t}t\;(t>0)$。求导得$g'(t)=\dfrac{1-\ln t}{t^2}$，故$g$在$(0,\rm e)$单调递增，在$\rm(e,\infty)$单调递减，在$t=\rm e$处取最大值$g(e)=\rm1/e$，且$\lim_{t\to0^+}g(t)=-\infty$，$\lim_{t\to\infty}g(t)=0$。因此方程$\ln x=g(t)$有解当且仅当$\ln x\le \rm1/e$，即$x\le \rm e^{1/e}$。解的情况：

• $0<x<1$：唯一解$t^*\in(0,1)$；
• $x=1$：解$t^*=1$；
• $1<x<\rm e^{1/e}$：两个解$t_1\in\rm(1,e)$和$t_2\in\rm(e,\infty)$；
• $x=\rm e^{1/e}$：唯一解$t^*=\rm e$。

2. 充分性（$x\in\rm[e^{-e},e^{1/e}]$时收敛）

我们分情况证明序列收敛到相应的不动点。

(i) $x=\rm e^{1/e}$

此时$t^*=\rm e$。归纳易证$a_n<\rm e$且$a_{n+1}>a_n$（因$x>1$），故$\{a_n\}$递增有上界，收敛。设极限为$L$，则$L=x^L$，解得$L=\rm e$。

(ii) $x=\rm e^{-e}$

此时$t^*=\rm e^{-1}$。考虑奇偶子列$b_n=a_{2n-1},\;c_n=a_{2n}$。可证$b_n$递减且$b_n>\rm e^{-1}$，$c_n$递增且$c_n<\rm e^{-1}$（归纳基础：$a_1=\rm e^{-e}<e^{-1}$，$a_2=\rm e^{-e^{1-e}}>e^{-1}$；归纳步利用$f$递减及$f\rm(e^{-1})=e^{-1}$）。故$\{b_n\},\{c_n\}$均收敛，且极限同为$\rm e^{-1}$（否则将产生不同于$\rm e^{-1}$的2‑周期，但与$f$的性质矛盾）。因此$a_n\to\rm e^{-1}$。

(iii) ${\rm e^{-e}}<x<1$

令$t^*\in(0,1)$为唯一不动点。类似(ii)可证奇偶子列单调性相反且有界：$b_n$递减趋于$t^*$，$c_n$递增趋于$t^*$（关键是利用$f$递减及$f(t^*)=t^*$，以及$|f'(t^*)|=|\ln t^*|<1$保证唯一性）。故$a_n\to t^*$。

(iv) $1<x<\rm e^{1/e}$

令$t_1\in\rm(1,e)$为较小的不动点。因$x>1$，$f$递增。归纳可证$a_n$递增且$a_n<t_1$（基础：$a_1=x<t_1$；步：$a_{n+1}=x^{a_n}<x^{t_1}=t_1$）。故$\{a_n\}$收敛，极限必为$t_1$。

(v) $x=1$

显然$a_n\equiv1$，收敛。

综上，对一切$x\in\rm[e^{-e},e^{1/e}]$，序列收敛。

3. 必要性（收敛则$x\in\rm[e^{-e},e^{1/e}]$）

设$a_n\to L$。则$L=x^L$，即$x=L^{1/L}$。定义$h(L)=L^{1/L}\;(L>0)$，则$x=h(L)$。由$h(L)={\rm e}^{g(L)}$及$g$的性质知$h$在$\rm(0,e)$递增，在$\rm(e,\infty)$递减，最大值为$h\rm(e)=e^{1/e}$，且$\lim_{L\to0^+}h(L)=0$，$\lim_{L\to\infty}h(L)=1$。

若序列收敛且$L\neq1$，则不动点$L$必须吸引，即$|f'(L)|<1$（否则迭代会远离$L$，除非初值恰为$L$，但$a_1=x=L^{1/L}\neq L$除非$L=1$）。而$f'(L)=x^L\ln x=L\ln x=\ln L$，故$|\ln L|<1$，即$L\in\rm(e^{-1},e)$。若$L=1$，则$x=1\in\rm[e^{-e},e^{1/e}]$。因此总有$L\in\rm[e^{-1},e]$。在此区间上$h$单调递增，故

$$x=h(L)\in[h({\rm e}^{-1}),h(\rm e)]=[e^{-e},e^{1/e}].$$

4. 发散情形

• $x>\rm e^{1/e}$：无不动点，若存在极限则必满足不动点方程，矛盾。实际可证$a_n\to\infty$。
• $x<\rm e^{-e}$：不动点$t^*<\rm e^{-1}$，且$|f'(t^*)|>1$。分析奇偶子列可知它们收敛到不同的极限，形成2‑周期，故原序列发散。

综上，序列$\{x\uparrow\uparrow n\}$收敛当且仅当${\rm e^{-e}}\le x\le \rm e^{1/e}$。∎