这里是我的公式集（不等式篇）

1.不等式的传递性

$$a > b,b > c \Rightarrow a > c$$

2.不等式的加法性质

$$a > b,c > d \Rightarrow a+c > b+d$$

3.正数不等式乘法性质

$$a > b > 0,c > d > 0 \Rightarrow ac > bd$$

4.不等式同乘性质

$$\begin{array}{c} a \gt b,c \gt 0 \Rightarrow ac \gt bc \\ a \gt b,c \lt 0 \Rightarrow ac \lt bc \end{array}$$

5.绝对值反三角不等式

$$\left | a-b \right | \geqslant \left | a \right | -\left | b \right |$$

6.绝对值界限

$$-\left | a \right |\leq a\leqslant \left | a \right |$$

7.绝对值不等式等价形式

$$\left | a \right |\leqslant b \Rightarrow -b \leqslant a \leqslant b$$

8.三角不等式

$$\left | a+b \right | \leqslant \left | a \right | + \left | b \right |$$

9.幂与根的不等式性质

$$\begin{array}{c} a \gt b \gt 0,n \in N^{\ast},n \gt 1 \\ \Rightarrow a^{n}\gt b^{n}, \sqrt[n]{a}\gt \sqrt[n]{b} \end{array}$$

10.柯西-施瓦茨不等式

$$\left( \sum_{k=1}^n a_k b_k \right)^{\!\!2}\leq \left( \sum_{k=1}^n a_k^2 \right) \left( \sum_{k=1}^n b_k^2 \right)$$

11.算术-几何平均不等式

$$\begin{array}{c} a,b \in R^{+} \\ \Rightarrow \frac{a+b}{{2}}\ge \sqrt{ab} \\ \left( \text{当且仅当}a=b\text{时取“}=\text{”号}\right) \end{array}$$

12.平方非负不等式

$$\begin{array}{c} a,b \in R \\ \Rightarrow a^{2}+b^{2}\ge 2ab \\ \left( \text{当且仅当}a=b\text{时取“}=\text{”号}\right) \end{array}$$

13.平均值不等式链

$$\begin{array}{c} H_{n}=\frac{n}{\sum \limits_{i=1}^{n}\frac{1}{x_{i}}}= \frac{n}{\frac{1}{x_{1}}+ \frac{1}{x_{2}}+ \cdots + \frac{1}{x_{n}}} \\ G_{n}=\sqrt[n]{\prod \limits_{i=1}^{n}x_{i}}= \sqrt[n]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}} \\ A_{n}=\frac{1}{n}\sum \limits_{i=1}^{n}x_{i}=\frac{x_{1}+ x_{2}+ \cdots + x_{n}}{n} \\ Q_{n}=\sqrt{\frac{1}{n}\sum \limits_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}= \sqrt{\frac{x_{1}^{2}+ x_{2}^{2}+ \cdots + x_{n}^{2}}{n}} \\ H_{n}\leq G_{n}\leq A_{n}\leq Q_{n}\quad(x_i>0) \end{array}$$

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